素数は中学1年生で初めて習いますが、大学入試でも素数に関する問題はよく出てきますし、歴史的に多くの数学者によって研究されてきましたが、いまだに解明されていないことがたくさんあります。
単純なようで奥深い素数とは一体なんなのでしょうか。
この記事では素数について何も知らない人でも理解できるように簡単に解説します。
素数とはあるルールを満たす数のこと
偶数が2で割り切れるものというように、素数もあるルールを満たす数のことを言います。
素数の定義は「自然数の中で1とその数自身以外に約数が無いもの」で、簡単に言うと「割り切れる数が無いもの」が素数です。
割り切れるという概念は自然数(正の整数)特有のものですし、1とその数自身ではすべての整数が割りきれるため、「自然数の中で」や「1とその数自身以外に」という細かい説明が入っているだけのことです。
少し回りくどいために、すんなりと理解するのが難しいかもしれませんが、例を用いて理解すると拍子抜けするほど簡単です。
ここで正の整数である10が素数かどうかを判定します。
10の約数は10を割り切ることができる正の整数なので、1, 2, 5, 10です。
ここで素数の定義と照らし合わせてみると
1とその数(10)以外の約数があるため10は素数ではありません。
次に7について素数かどうか判定します。
7の約数は1, 7のみです。
１とその数以外に約数がありません。
そのため7は素数です。
100までの素数一覧
素数は無限にあることがわかっていて、すべての素数を紹介することは不可能なので100までの素数を一覧にして紹介します。
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
の25個が100までの素数です。
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19くらいまでは素数の問題を扱うときによく使うため暗記しておきましょう。
また、中学受験で難関中学を目指している場合は、100までの素数は一目で判別できる必要があります。
書き出す場合には25個であるということを注意すれば抜け漏れやミスが減ります。
なぜ1は素数ではないのか
ここで素数に1が含まれないことを不思議に思うかもしれませんが、1は素数ではありません。
1の場合は、1とその数(1)自身以外に約数が無いので素数のように思えますが、1は約数が1の1つのみ、素数は約数を2つ持つため、その違いから1は素数から外されています。
理由としてはこうですが、1は素数ではないと覚えてしまいましょう。
素数の判定方法
素数は無限にあり、暗記することは不可能です。ある数が素数かどうかを判定するにはどうすればよいでしょうか。
素数かどうかの判定方法は「割り切れる数を探す」ことです。
ここで割り切れる数を探すテクニックをいくつか紹介します。
2で割り切れることの確認（1の位が偶数）
112や2004など、下一桁が偶数の場合は数として偶数です。偶数の素数は2のみであり、2以外の偶数は2で割り切れるため素数ではないと言えます。
3で割り切れることの確認（すべての桁の数を足すと3で割り切れる）
123は、すべての桁の数を足すと1+2+3=6 となり、3で割り切れます。 このように、「すべての桁の数の和が3で割り切れる整数」は、元の数も3で割り切れる（3の倍数である）ことが知られています。
5で割り切れることの確認（1の位が0か5）
10や305など1の位が0や5の場合は5で割り切れます。
暗記している素数で割ってみる
上記のいずれのパターンでもない場合は小さい素数からいくつか割り算してみましょう。
2, 3, 5は既に試しているため、7, 11, 13, 17, 19で割り切れないか確認します。
大概の場合は7, 11, 13, 17, 19で割り切れないことまで確認したら素数ではないと判定できます。
判定したい数をnとすると までの素数で割れなかったら素数であるということがわかっています。確実に判定したい場合はそこまで確認するとよいでしょう。
101が素数かどうかを判定する場合10< <11なので2,3,5,7で割り切れないことを確認すればよいということになります。
まとめ
本記事では、素数について解説しました。
素数のルールや判定方法を理解するのは少し難しいかもしれませんが、例を用いて考えてみることでより簡単に理解できるようになるはずです。
中学校で習う素数ですが、大学入試の問題にも出てくるほど奥が深いです。まだまだ素数を用いた難しい問題があるので、気になった方はぜひご自身で検索してみてください。
